3. DIVISIBILIDAD

1. Introducción

La divisibilidad estudia relaciones entre los números, nos dice si unos contienen o están contenidos en otros una cantidad exacta de veces. 

Por ejemplo, ¿se pueden repartir 30 alumnos en grupos de trabajo de 5 sin que sobre ninguno?  Haz clic en la imagen

Comprueba si lo has entendido realizando más ejercicios. 

2. Relación de divisibilidad

Dos números están emparentados por la relación de divisibilidad si la división del mayor entre el menor es exacta

Para comprobar si dos  números están emparentados por la relación de divisibilidad pincha en este enlace y realiza las actividades propuestas.

3. Múltiplos y divisores de un número

·         Los múltiplos de un número se obtienen multiplicando dicho número por los números naturales 0, 1, 2, 3, 4, 5, …  Para saber más: Múltiplos de un número

·         Un número a es divisor de b si la división de b entre a es exacta.

      Comprueba aquí que lo entiendes.

·         Aprende con ejemplos divertidos en los siguientes enlaces: múltiplos  divisores

·         Juega con algún compañero o compañera al Juego de múltiplos y divisores 

3. Criterios de divisibilidad

Los criterios de divisibilidad nos permiten descubrir si un número es divible por otro sin necesidad de realizar la división.

Practica algunos criterios de divisibilidad y  repásalos de forma divertida

4. Números primos y compuestos

Hay números, como el 60, que tienen muchos divisores. Sin embargo hay otros números, como el 17, que solamente tienen como divisores a la unidad y al propio número: esto ocurre con los números primos. Llamamos números compuestos a los que tienen más de dos divisores, como sucedía, por ejemplo, con el 60. El número 1 no es ni primo ni compuesto.

Los números primos fascinaron a muchos grandes matemáticos a lo largo de la historia y siguen desempeñando un papel fundamental tanto en las matemáticas como en la vida cotidiana, donde son la base en la que se apoyan los complicados sistemas de encriptación (proceso para volver ilegible, codificar, cierta información) que se emplean actualmente para proteger datos importantes, como los códigos bancarios o las tarjetas de crédito.

·         ¿Cuántos números primos hay?

Saber si un número es primo o compuesto no siempre es sencillo. En el año 3000 a. C Euclides, matemático y geómetra griego, demostró que hay infinitos números primos, pero hasta la fecha nadie fue capaz de encontrar una regla que permita obtener un número primo o saber, de un modo sencillo, cuáles son los divisores de un número.

·         ¿Cuál es el mayor número primo conocido?

Pues hasta la fecha, este que tiene nada menos que ¡12.978.189 de dígitos!, por lo que obviamente no se puede escribir aquí:    2^43112609 - 1 = 3164702693302559231…22181166697152511

Fue descubierto el 23 de agosto de 2008 en la Universidad de California y su descubridor ganó el premio de 100.000 dólares, ofrecido por Electronic Frontier Foundation al primero que consiguiese un primo con más de 10.000.000 de dígitos.

En la actualidad hay un premio de 150.000 dólares para el primero que consiga un nº primo con más de 100.000.000 de cifras, así que ¡ánimo!.

Reconoce números primos aquí 

Anímate con los números primos

·         Criba de Eratóstenes

Eratóstenes (276 a. C. - 194 a. C.) nació en Cyrene, hoy Libia. Fue astrónomo, geógrafo, poeta, filósofo y matemático. Estudió en Alejandría y Atenas. Alrededor del año 255 a. C. fue el tercer director de la Biblioteca de Alejandría. Trabajó con problemas matemáticos sobre números primos ideando un método para hallar números primos pequeños conocido como Criba de Eratóstenes. Una de sus principales contribuciones a la ciencia y a la astronomía fue la medición de la circunferencia de la Tierra.

Vamos a buscar todos los números primos comprendidos entre 1 y 100. En el siguiente enlace usaremos  el mismo método que empleó Eratóstenes: Criba de Eratóstenes

¿Cómo averiguar si un número es primo o compuesto? Haz clic aquí

5. Descomposición de un número en sus factores primos

 Cualquier número se puede expresar como producto de potencias de números primos. A esto se le llama descomposición factorial de un número.

Observa un ejemplo y practica con varios números aquí

Más ejercicios para practicar

¿Se te da bien la descomposición de un número en factores primos?

6. Mínimo común múltiplo de dos números

El mínimo común múltiplo de dos o más números , a, b, c, … es el menor de sus múltiplos comunes.

Se expresa así:  mcm (a,b,c,…)

Cálculo del mcm por descomposición factorial.

7. Máximo común divisor de dos números

El máximo común divisor de dos o más números , a, b, c, … es el mayor de sus divisores comunes.

Se expresa así:  mcd (a,b,c,…)

Cálculo del mcd por descomposición factorial

¿Diferencias el mcm y el mcd?

REFUERZA TUS CONOCIMIENTOS SOBRE ESTE TEMA

·         Repasamos la teoría:

·         Puedes descargar un esquema.

·         Aquí encontrarás un repaso completo del tema con teoría y ejercicios. Al final encontrarás una autoevaluación, puedes realizar los ejercicios finales y enviárselos por correo electrónico a tu profesor.

·         Realiza esta autoevaluación

·         Ejercicios de repaso con solución.

Referencias: 
- Matemáticas en el IES Valle del Oja
- http://www.santillana.es/
- http://recursostic.educacion.es/
- www. amolasmates.es